Lineární rovnice

Lineární rovnice je rovnice, která obsahuje proměnné pouze v první mocnině a nemá žádné součiny mezi proměnnými. Obecný tvar lineární rovnice je ax + b = 0, kde aa a b jsou konstanty, a x je proměnná. Tyto rovnice lze snadno řešit pomocí základních algebraických operací, jako je sčítání, odčítání, násobení nebo dělení. Lineární rovnice jsou základem pro řešení mnoha matematických problémů a analýzu funkcí.

Lineární rovnice je rovnice, která má tvar ax + b = 0, kde a a b jsou reálná čísla a x je neznámá.

Lineární rovnice má vždy jedno řešení, které je reálné číslo.

Na procvičování doporučuji tento odkaz.

Úpravy lineárních rovnic

Při řešení lineárních rovnic se provádějí tyto úpravy:

  • sčítání nebo odčítání stejného čísla na obou stranách rovnice
  • násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem
  • roznásobení závorek a úprava členů

Příklady řešení

Příklad 1: Řeš rovnici 2x - 4 = 10

1) Přičteme 4 k oběma stranám: 2x = 14

2) Vydělíme 2: x = 7

Příklad 2: Řeš rovnici 3(x - 2) = 9

1) Rozevřeme závorku: 3x - 6 = 9

2) Přičteme 6: 3x = 15

3) Vydělíme 3: x = 5

Příklad rovnice se zlomkem

Příklad 3: Řeš rovnici x 3 + 2 = 5

1) Odečteme 2 od obou stran: x 3 = 3

2) Vynásobíme obě strany 3 (tím se zbavíme zlomku): x = 9

Při řešení rovnic se zlomky je důležité:

  • nejdříve odstranit všechny členy bez zlomků na jednu stranu rovnice
  • vynásobit obě strany rovnice společným jmenovatelem všech zlomků
  • dále řešit jako běžnou lineární rovnici
  • pokud vyjde zlomek, převedeme ho jen do základního tvaru a máme výsledek

Slovní úlohy s rovnicemi

Lineární rovnice se často používají k řešení slovních úloh. Při řešení postupujeme následovně:

  • zavedeme neznámou (x) - označíme hledaný údaj
  • sestavíme rovnici - převedeme text do matematického zápisu
  • vyřešíme rovnici - použijeme známé postupy
  • odpovíme na otázku - nezapomeneme na jednotky a souvislost s úlohou

Příklad 1: Mysli si číslo. Když k němu přičteš 5 a výsledek vynásobíš 2, dostaneš 30. Jaké číslo si myslíš?

Řešení:

  • x = hledané číslo
  • sestavíme rovnici: 2(x + 5) = 30
  • roznásobíme závorku: 2x + 10 = 30
  • odečteme 10: 2x = 20
  • vydělíme 2: x = 10

Odpověď: Myšlené číslo je 10.

Příklad 2: V pokladničce mám třikrát více dvoukorunových mincí než pětikorunových. Celkem mám 155 Kč. Kolik mám kterých mincí?

Řešení:

  • x = počet pětikorunových mincí
  • 3x = počet dvoukorunových mincí
  • sestavíme rovnici: 5x + 2(3x) = 155
  • roznásobíme: 5x + 6x = 155
  • sečteme podobné členy: 11x = 155
  • vydělíme 11: x = 15

Odpověď: V pokladničce je 15 pětikorunových a 45 dvoukorunových mincí.

Kontrola: 15 × 5 Kč + 45 × 2 Kč = 75 Kč + 80 Kč = 155 Kč